Nombres mystères avec facteurs 3 et 7 - Corrigé

Énoncé

Un entier \(n\) s'écrit \(3^a7^b\) avec \((a;b) \in \mathbb{N}^2\) . De plus, \(63n\) a deux fois plus de diviseurs que \(n\) .

1. Montrer que \((a-1)b=4\) .

2. En déduire les valeurs possibles pour \(n\) .

Solution

1. L'entier \(n\) possède \((a+1)(b+1)\) diviseurs. 
On a : \(63n=63 \times 3^a \times 7^b=3^2 \times 7 \times 3^a \times 7^b=3^{a+2} \times 7^{b+1}\)  donc l'entier \(63n\) possède \((a+3)(b+2)\) diviseurs.
De plus, on sait que \(63n\) a deux fois plus de diviseurs que \(n\) , c'est-à-dire
\(\begin{align*}(a+3)(b+2)=2(a+1)(b+1)& \ \ \Longleftrightarrow \ \ ab+2a+3b+6=2(ab+a+b+1)\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ ab+2a+3b+6=2ab+2a+2b+2\\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ ab-b=4\end{align*}\)  
et donc \((a-1)b=4\) .

2. Comme \((a-1)\) et \(b\) sont des diviseurs positifs de \(4\) avec \((a-1)b=4\) , on a trois situations :

• soit \(a-1=1\) (donc \(a=2\) ) et \(b=4\) , et alors \(n=3^2 \times 7^4=21~609\) ;
• soit \(a-1=2\) (donc \(a=3\) ) et \(b=2\) , et alors \(n=3^3 \times 7^2=1~323\) ;
• soit \(a-1=4\) (donc \(a=5\) ) et \(b=1\) , et alors \(n=3^5 \times 7^1=1~701\) .
  

L'entier \(n\) peut donc valoir \(1~323\) ; \(1~701\) ou \(21~609\) .